Целочисленное программирование. Графический метод

Пример.

Задачу линейного программирования решить графическим способом. F = 4x1+2x2 → max.

x1-2x2≤4(1)
3x1+2x2≥6(2)
9x1+8x2≤72(3)
-x1+x2≤5(4)
x1≥0(5)
x2≥0(6)
где x1, x1 - целые числа.

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

или

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рисунок 2 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x1+2x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x1+2x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рисунок 3 - Пример решения графическим методом

Равный масштаб

Рисунок 4 - Линейное программирование. Графический метод

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке F. Так как точка F получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x1-2x2≤4
9x1+8x2≤72

Решив систему уравнений, получим: x1 = 6.7692, x2 = 1.3846
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 4*6.7692 + 2*1.3846 = 29.85

Решение получилось не целочисленным.
Множество допустимых решений задачи с отмеченными на нем целочисленными точками представлено на рис. 5.
Перемещение линии уровня целевой функции F(X) в направлении, задаваемом ее градиентом, показывает, что наибольшее значение F(X)=28 она примет в точке (6, 2).

Рисунок 5 - Целочисленное программирование. Графический метод
загрузка...