Целочисленное программирование. Графический метод

Пример.

Задачу линейного программирования решить графическим способом. F = 3x1+6x2 → min.

x1+2x2≤9(1)
2x1+x2≤9(2)
x1-2x2≤0(3)
x1+x2≥2(4)
4x1-x2≥0(5)
x1≥0(6)
x2≥0(7)
где x1, x1 - целые числа.

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

или

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рисунок 2 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x1+6x2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x1+6x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рисунок 3 - Пример решения графическим методом

Равный масштаб

Рисунок 4 - Линейное программирование. Графический метод

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (3) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x1-2x2≤0
x1+x2≥2

Решив систему уравнений, получим: x1 = 1.3333, x2 = 0.6667
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*1.3333 + 6*0.6667 = 8

Решение получилось не целочисленным.
Множество допустимых решений задачи с отмеченными на нем целочисленными точками представлено на рис. 5.
Перемещение линии уровня целевой функции F(X) в направлении, задаваемом ее градиентом, показывает, что наибольшее значение F(X)=7.99999992 она примет в точке (1.33333332, 0.66666666).

Рисунок 5 - Целочисленное программирование. Графический метод
загрузка...