Поиск по сайту

Решение задач линейного программирования графическим методом online

Задание.

Задачу линейного программирования решить графическим способом. F = 9x1+60x2 → max.

21x1+30x2≤210(1)
9x1+12x2≤36(2)
x1≥0(3)
x2≥0(4)

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

или

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рисунок 2 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 9x1+60x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 9x1+60x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рисунок 3 - Пример решения графическим методом

Равный масштаб

Рисунок 4 - Линейное программирование. Графический метод

Область допустимых решений представляет собой треугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (2) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
9x1+12x2≤36
x1=0

Решив систему уравнений, получим: x1 = 0, x2 = 3
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 9*0 + 60*3 = 180