Целочисленное программирование. Графический метод

Пример.

Задачу линейного программирования решить графическим способом. F = 4x1-2x2 → min.

-2x1+3x2≤15(1)
5x1-x2≥0(2)
x1+2x2≥8(3)
2x1-3x2≤0(4)
x1≥0(5)
x2≥0(6)
где x1, x1 - целые числа.

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

или

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рисунок 2 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x1-2x2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x1-2x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рисунок 3 - Пример решения графическим методом

Равный масштаб

Рисунок 4 - Линейное программирование. Графический метод

Область допустимых решений представляет собой линию.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
-2x1+3x2≤15
5x1-x2≥0

Решив систему уравнений, получим: x1 = 1.1538, x2 = 5.7692
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 4*1.1538 - 2*5.7692 = -6.92

Решение получилось не целочисленным.
Множество допустимых решений задачи с отмеченными на нем целочисленными точками представлено на рис. 5.
Перемещение линии уровня целевой функции F(X) в направлении, задаваемом ее градиентом, показывает, что наибольшее значение F(X)=-6.92307696 она примет в точке (1.15384614, 5.76923076).

Рисунок 5 - Целочисленное программирование. Графический метод
загрузка...