Целочисленное программирование. Графический метод

Пример.

Задачу линейного программирования решить графическим способом. F = → min.

5x1+4x2≥4(1)
4x1+4x2≥2(2)
4x1+4x2≥1(3)
x1≥0(4)
x2≥0(5)
где x1, x1 - целые числа.

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

или

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рисунок 2 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Рассмотрим целевую функцию задачи F = → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рисунок 3 - Пример решения графическим методом

Равный масштаб

Рисунок 4 - Линейное программирование. Графический метод

Область допустимых решений представляет собой одну точку.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (4) и (1), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x2=0
5x1+4x2≥4

Решив систему уравнений, получим: x1 = 0.8, x2 = 0
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 0*0.8 + 0*0 = 0
Поскольку функция цели F(x) параллельна прямой (4), то на отрезке BA функция F(x) будет принимает одно и тоже минимальное значение.
Для определения координат точки A решим систему двух линейных уравнений:
5x1+4x2≥4
x1=0

Решив систему уравнений, получим: x1 = 0, x2 = 1
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 0*0 + 0*1 = 0

Решение получилось целочисленным.

загрузка...