Контрольная по ЭММ

1.1
1. Решите задачу о диете со следующими данными. Из продуктов трех видов необходимо составит рацион минимальной стоимости, соблюдя при этом ограничения по содержанию некоторых витаминов. Данные приведены в таблице:

5. Приведите следующие задачи к каждой из канонических форм, описанным в лекции:

1.2
1. Докажите лемму 1, следствие из нее и признак оптимальности в краткой форме.
4. Постройте двойственные задачи к задачам из упражнения №3 прошлой лекции, сформулируйте для них условия признака оптимальности. Достаточно ли этих условий, чтобы найти решения задач?
Задачи из упражнения №3:
2. Решите задачу линейного раскроя со следующими данными. Для комплектации одного изделия необходимо две детали первого типа и одна деталь второго типа. Материал поступает в виде стандартных полос длиной 1 м. Деталь первого типа требует 15 см. материала, а деталь второго типа — 35 см.
3. В условиях предыдущей задачи, насколько важны для математической постановки данные о комплектности деталей в одном изделии? Как изменится математическая постановка, если понятие «две детали первого типа» заменить одной деталью первого типа, на изготовление которой уходит 2х15=30 см. материала?

1.3
1. Сформулируйте алгоритм одного шага процедуры последовательного улучшения для задачи в канонической форме 1, воспользовавшись результатами, полученными для формы 3 (перейдите в общем виде от формы 1 к форме 3).

1.4
1. Для следующих задач линейного программирования запишите двойственные к ним и найдите оптимальные решения.


2. Для следующих задач линейного программирования найдите оптимальные решения в зависимости от указанных параметров (величины некоторых ограничений) и проведите исследование изменения оптимального решения и оптимального значения целевой функции при изменении параметра

3. Для следующих содержательных постановок постройте математическую модель в виде задачи линейного программирования, приведите ее к какой-либо известной вам канонической форме, сформулируйте двойственную задачу и условия признака оптимальности, найдите решения пары двойственных задач, проинтерпретируйте двойственные оценки.
1) Нефтеперерабатывающий завод производит за месяц 1 500 000 л.алкилата, 1 200 000 л.крекинг-бензина и 1 300 000 л.изопентола. В результате смешивания этих компонентов в пропорциях 1:1:1 и 3:1:2 получается бензин сортов А и Б, соответственно. Стоимость 1000 л. бензина сорта А и Б, соответственно, равна 90 и 120 ед. Определить месячный план производства бензина сорта А и Б, максимизирующий стоимость выпущенной продукции.

1.5
Решите следующие задачи выпуклого программирования. Дайте интерпретацию двойственным переменным и проинтерпретируйте выполнение условий дополняющей нежесткости. Как изменится оптимальное решение при изменении правых частей ограничений?

2.1
1. Для данных множеств исходов и описанных предпочтений выясните, являются ли предпочтения рациональными и можно ли их представить функцией полезности?

2. В предыдущем упражнении найдите результат выбора, если он существует.

2.2
1. Решение о покупке автомобиля. Рассмотрим простую ситуацию: человек, располагающий запасом денег W решает, приобрести ли автомобиль по цене p, его полезность измеряется в деньгах и денежная оценка факта наличия у него автомобиля для человека составляет (итого при покупке автомобиля его выигрыш составит , а в отсутствие автомобиля просто измеряется размером богатства W). Представьте ситуацию в виде дерева решений. Найдите граничное значение цены автомобиля, при котором человеку безразлично — покупать автомобиль или нет.
6. Задача выбора количества потребляемых товаров при бюджетном ограничении. Потребитель распределяет весь свой доход между потреблением некоторого обычного товара в количестве , покупая его по цене p руб. за единицу, и потреблением всех остальных товаров, рассматривая его, как денежный остаток, который он не тратит на первый товар, — . Полезность потребителя задана функцией , а множество доступных альтернатив задано бюджетным множеством в виде , где R — весь доход потребителя. Найдите оптимальный выбор потребителя в зависимости от параметров: . Являются ли предпочтения потребителя рациональными (поясните)? Каков содержательный смысл двойственной оценки бюджетного ограничения в такой задаче?

2.3
1. В рассмотренную игру 2 (научно-исследовательские работы) введите учет дисконтирования, если дополнительно известно, что исследования длятся 1 год, а после налаживание производства происходит еще в течение 2 лет, а ежегодный коэффициент дисконтирования для фирмы составляет . Изменится ли результат принятия решения?
6. Предпочтения судовладельца описываются функцией полезности типа Неймана—Моргенштерна с элементарной функцией полезности от богатства х вида u(х), причем u имеет положительную убывающую производную. Он владеет богатством $40 000 и может потерять в случае аварии судна $10 000.
(A) Пусть вероятность аварии равна 0,02 и известно, что он застраховался на сумму $9 000. Возможно ли, что цена страхования на $1 равна $0,02? Если нет, то больше или меньше, чем $0,02? Объясните.
(B) Пусть цена страхования на $1 равна $0,02 и известно, что он застраховался на сумму $11000. Возможно ли, что вероятность аварии равна 0,02? Если нет, то больше или меньше, чем 0,02? Объясните.
(C) Пусть вероятность аварии равна 0,01 и известно, что цена страхования на $1 равна $0,02. Возможно ли, что он застраховался на сумму $10 000? Если нет, то больше или меньше, чем $10 000? Объясните.

2.4
1. Игра «Вахтер». На входе в некоторое учреждение стоит вахтер. В учреждение могут войти посетители двух типов: «свои» и «чужие» (будем их для краткости обозначать A и B). Некоторые посетители кажутся вахтеру своими, а некоторые — чужими (фактически, в игре есть 2 типа вахтера — обозначим их соответственно a и b). Вахтер точно не знает, «свой» перед ним или «чужой» и может только проверить у посетителя наличие пропуска. При этом если посетитель окажется своим, то выигрыш вахтера составит –1, а если чужим, то 1. Если вахтер пропускает человека без проверки, то ему уже все равно, свой тот или нет, и выигрыш вахтера составляет 0.
Опишите игру в виде дерева решений «единого вахтера», который не обращает внимания на то, что ему кажется и в виде дерева, в котором учтены подозрения вахтера (a и b). Как вахтеру использовать свои подозрения при принятии решения проверять или не проверять документы?

загрузка...