Дифференциал в приближенных вычислениях


Часто бывает так, что функцию f(x) и ее производную f’(x) легко вычислить при x=a, а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой f(a+h)=f(a)+f”(a)h. (1)
Она выражает, что приращение f(a+h)-f(a) функции f(x) при малых значениях h приближенно равно дифференциалу f”(a)h.
Если f”(a)=0, то формула (1)выражает, что приращение функции мало по сравнению с h ; тогда для достаточно малых значений h практически можно считать, что f(a+h)=f(a).
Ниже указан способ оценки погрешности формулы (1), но часто оценка связана с громоздкими подсчетами. При грубых вычислениях часто довольствуются формулой (1).

Пример 1.
Извлечь квадратный корень из 3654.
Решение. Надо найти значение функции при x=3654. Легко вычисляются значения f(x) и при x=3600. Формула (1) при a=3600, h=54 дает . Здесь все знаки верны.

Пример 2. Найти 102,1.
Решение. Полагаем f(x)=10x , так что . Формула (1) при a=2, h=0,1 дат:
.
Этот результат грубоват (с точностью до четвертой значащей цифры 102,1=125,9).
Если таким же образом вычислить 102,01 (теперь h=0,01), получим 102,3. Здесь все знаки верны.

Пример 3. Найти без таблиц tg 46о.
Решение. Полагаем f(x)=tg x, a=45о, h=1о=0,0175 радиана; тогда имеем: . Значит, tg 45о=1+2·0,0175=1,0350.
Неверен только последний знак; из таблиц имеем tg 46o=1, 0355.

Полезно заметить следующие приближенные формулы (a-малая величина):
, ; (2)
, ; (3)
, ; (4)
, ; (5)
, ; (6)
Формулы (2)-(6) являются частными случаями формулы (1+a)n≈1+na; последняя получается из (1), если положить f(x)=xn, a=1,h=a.
ln(1+a)≈a, ln(1-a)≈-a; (7)
ea≈1+a, ; (8)
sin a≈a, , tg a≈a; (9)

загрузка...