Интервал сходимости степенного ряда

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор предназначен нахождения области сходимости степенного ряда. Результаты вычисления оформляются в формате Word (см. пример).

Например, исходный ряд подразделяется на три части: n^n, 2^n*n!, (x-5)^n.


n =

Правила ввода функций:
  1. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, (x-4)n, записываем как (x-4)^n.
  2. Число π ≡ pi, корень квадратный √ ≡ sqrt. Например, sqrt(n^2+n), en = exp(n)

Пример. .
Решение.
Общий вид степенного ряда . В нашем случае .
Известно, что область сходимости степенного ряда определяется величиной радиуса сходимости R:

|x-x0|<R или x0-R<x<x0+R
Сходимость ряда на границах (при x=x0±R) необходимо исследовать дополнительно.
Найдем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:

.
Имеем
;
;
.
.
Проверим сходимость ряда при . Подставляя это значение в исходный ряд, получим числовой ряд

.
Для исследования сходимости этого ряда используем формулу Стирлинга , верную для факториалов больших чисел.
Получим ряд сравнения. Этот ряд расходится.
Проверим сходимость ряда при . Подставляя это значение в исходный ряд, получим числовой ряд

.
Применяя к нему те же соотношения, получим ряд сравнения

.
Этот ряд сходится (по признаку Лейбница).
Итак, мы получили область сходимости исходного ряда:

.

Задание:
9.1. .
9.2. .
9.3. .
9.4. .
9.5. .
9.6. .
9.7. .
9.8. .
9.9. .
9.10. .

загрузка...