Частные производные

Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке A(x0,y0) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке A к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю.
Частные производные функции z(x,y) находятся по следующим формулам: Частные производные
Вторые частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:
Вторые частные производные
Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам: Смешанные частные производные

Назначение сервиса. Сервис используется для нахождения частных производных функции (см. пример). Решение производится в онлайн режиме и оформляется в формате Word.

Функция задана в явном виде:
z =
Функция задана в неявном виде:

Вычислять частные производные в точке A(,)
Находить вторые частные производные
Находить полный дифференциал функции
Правила ввода функций:
  1. Все переменные выражаются через x,y
  2. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, x2+xy, записываем как x^2+x*y.
  3. Корень квадратный: sqrt. Например, sqrt(x^2+1/2*y^2), arcsin(x) = asin(x), ex = exp(x), cos2(2x+y) = (cos(2*x+y))^2
Частные производные используются, например, при нахождении полного дифференциала.

Частные производные функции нескольких переменных

Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу x; Δyz=f(x,y+Δy)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу у.
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x;
– это частная производная функции z по аргументу у.
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

Пример 1. z = 2x5 + 3x2y + y2 – 4x + 5y - 1

Пример 2. Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x0;y0).

Находим частные производные:


Найдем частные производные в точке А(1;1)


Находим вторые частные производные:


Найдем смешанные частные производные:
загрузка...