Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть ex*(Ax + B)

Пример 1. y''' - 2y'' - 24y' = (x+5)e6x
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx через онлайн сервис. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r3-2r2-24r = 0
Вынесем r за скобку. Получим:
r(r2-2r-24) = 0
Здесь r1 = 0. Найдем остальные корни.
r2 -2 r - 24 = 0
D = (-2)2 - 4 • 1 • (-24) = 100


Корни характеристического уравнения:
r1 = 0
r2 = 6
r3 = -4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e0x
y2 = e6x
y3 = e-4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = (x+5)e6x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x+5, Q(x) = 0, α = 6, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 6 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r2).
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = e6x(2•A•x(3•x+1)+6•B•x+B)
y'' = 2•e6x(18•A•x2+12•A•x+A+18•B•x+6•B)
y''' = 36•e6x(6•A•x2+6•A•x+A+6•B•x+3•B)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y''' -2y'' -24y' = (36•e6x(6•A•x2+6•A•x+A+6•B•x+3•B)) -2(2•e6x(18•A•x2+12•A•x+A+18•B•x+6•B)) -24(e6x(2•A•x(3•x+1)+6•B•x+B)) = (x+5)•e6•x
или
120Ax e6•x +32A e6•x + 60B e6•x = (x+5)•e6•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
120A = 1
32A + 60B = 5
Решая ее, находим:
A = 1/120; B = 71/900

Частное решение имеет вид:
y* = x ((1/120x+ 71/900)e6x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = C1 + C2e6x + C3e-4x + x ((1/120x+ 71/900)e6x)

Перейти к онлайн решению своей задачи

см. также:

  1. Сборник решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
  2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть cos(x),sin(x)
  3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть ex*(Ax + B)
  4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть exp(x),cos(x),sin(x)
  5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть Ax + B
загрузка...