Пример частного решения линейного дифференциального уравнения

Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (xo = 0).
y'' + 6y' + 13y = 8e-x, yo = 2/3, y'o = 2.
Решение находим с помощью калькулятора. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение:
r2 +6 r + 13 = 0
D = 62 - 4 • 1 • 13 = -16


Корни характеристического уравнения:
r1 = -3 + 2i
r1 = -3 - 2i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:


Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии:y(0) = 2/3, y'(0) = 2
Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение:
c1 = 2/3
Находим первую производную:
y' = -3•c2•e-3•x•sin(2•x)-2•c1•e-3•x•sin(2•x)-3•c1•cos(2•x)•e-3•x+2•c2•cos(2•x)•e-3•x
Поскольку y'(0) = -3•c1+2•c2, то получаем второе уравнение:
-3•c1+2•c2 = 2
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1 = 2/3
-3•c1+2•c2 = 2
т.е.:
c1 = 2/3, c2 = 2
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Рассмотрим правую часть: f(x) = 8•e-x
Поиск частного решения. Уравнение имеет частное решение вида: y* = Ae-x. Вычисляем производные онлайн:
Первая производная: y' = -A•e-x
Вторая производная: y'' = A•e-x
Найденные производные подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y'' + 6y' + 13y = (A•e-x) + 6(-A•e-x) + 13(Ae-x) = 8•e-x
или 8•A•e-x = 8•e-x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 8A = 8
Откуда, A = 1
Частное решение имеет вид: y* = e-x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Рассмотрим тоже самое уравнение, но решим методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C'i составляем систему уравнений:

C'1(-2•e-3x•sin(2x)-3•cos(2x)•e-3x) + C'2(-3•e-3x•sin(2x)+2•cos(2x)•e-3x) = 8*exp(-x)
Выразим C'1 из первого уравнения:
C'1 = -c2•sin(2x)/(cos(2x))
и подставим во второе. В итоге получаем:
C'1 = -4•e2x•sin(2x)
C'2 = 4•cos(2x)•e2x
Интегрируем полученные функции C'i:
C1 = -e2x•sin(2x)+cos(2x)•e2x + C*1
C2 = e2x•sin(2x)+cos(2x)•e2x + C*2
Записываем полученные выражения в виде:
C1 = (-e2x•sin(2x)+cos(2x)•e2x)•cos(2x)•e-3x + C*1e-3x•cos(2x)
C2 = (e2x•sin(2x)+cos(2x)•e2x)•e-3x•sin(2x) + C*2e-3x•sin(2x)
или
C1 = -cos(2x)•e-x•sin(2x)+cos2(2x)•e-x + C*1e-3x•cos(2x)
C2 = cos(2x)•e-x•sin(2x)+sin2(2x)•e-x + C*2e-3x•sin(2x)
y = C1 + C2
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Скачать пример решения Скачать

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример. y'' + 5y' + 6 = 12cos(2x)
Cоставляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения: r2 +5 r + 6 = 0
Находим дискриминант: D = 52 - 4 • 1 • 6 = 1


Корни характеристического уравнения: r1 = -2, r2 = -3. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-2x, y2 = e-3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = 3
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = 1
Находим первую производную:
y' = -3•c2•e-3•x-2•c1•e-2•x
Поскольку y'(0) = -3•c2-2•c2, то получаем второе уравнение:
-3•c2-2•c2 = 3
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = 1
-3•c2-2•c2 = 3
которую решаем или методом обратной матрицы или методом исключения переменных.
c1 = 6, c2 = -5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 12•cos(2•x)
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные:
y' = -2•A•sin(2x)+2•B•cos(2x)
y'' = -4•A•cos(2x)-4•B•sin(2x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y'' + 5y' + 6y = (-4•A•cos(2x)-4•B•sin(2x)) + 5(-2•A•sin(2x)+2•B•cos(2x)) + 6(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 12•cos(2•x) или -10•A•sin(2x)+2•A•cos(2x)+2•B•sin(2x)+10•B•cos(2x) = 12•cos(2•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений:
-10A + 2B = 0
2A + 10B = 12
СЛАУ решаем методом Крамера:
A = 3/13;B = 15/13;
Частное решение имеет вид:
y* = 3/13cos(2x) + 15/13sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

см. также диф уравнения онлайн

загрузка...