Пример решения дифференциального уравнения

Пример №1. Найти частное решение дифференциального уравнения y''+py' +qy = f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = y0, y'(x0) = y'0.
y'' -6y' + 9y = x2-x+3

Решение находим с помощью сервиса линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -6 r + 9 = 0
D = (-6)2 - 4 • 1 • 9 = 0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 3 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e3x
y2 = xe3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии:y(0) = 4/3, y'(0) = 1/27
Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение:
c1 = 4/3
Находим первую производную:
y' = 3•c1•e3•x+3•c2•x•e3•x+c2•e3•x
Поскольку y'(0) = 3•c1+c2, то получаем второе уравнение:
3•c1+c2 = 1/27
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1 = 4/3
3•c1+c2 = 1/27
т.е.:
c1 = 4/3, c2 = -107/27
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = x2-x+3
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x2-x+3, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = 2•A•x+B
y'' = 2•A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' -6y' + 9y = (2•A) -6(2•A•x+B) + 9(Ax2 + Bx + C) = x2-x+3
или
9•A•x2-12•A•x+2•A+9•B•x-6•B+9•C = x2-x+3
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
9A = 1
-12A + 9B = -1
2A -6B + 9C = 3
Решая ее, находим:
A = 1/9;B = 1/27;C = 1/3;
Частное решение имеет вид:
y* = 1/9x2 + 1/27x + 1/3
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример №2. y'' +4y' - 5y = 2•ex

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +4 r - 5 = 0
D = 42 - 4 • 1 • (-5) = 36


Корни характеристического уравнения:
r1 = 1
r2 = -5
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = ex
y2 = e-5x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = -1
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = 1
Находим первую производную:
y' = c1•ex-5•c2•e-5•x
Поскольку y'(0) = c1-5•c2, то получаем второе уравнение:
c1-5•c2 = -1
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = 1
c1-5•c2 = -1
которую решаем или методом матриц или методом исключения переменных.
c1 = 2/3, c2 = 1/3
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 2•ex
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 2, Q(x) = 0, α = 1, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 1 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = A•ex(x+1)
y'' = A•ex(x+2)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 4y' -5y = (A•ex(x+2)) + 4(A•ex(x+1)) -5(x (Aex)) = 2•ex
или
6•A•ex = 2•ex
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
6A = 2
Решая ее, находим:
A = 1/3;
Частное решение имеет вид:
y* = x (1/3ex)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример №3. y'' - 4y' + 4y = 2sin(2x), y(0) = 0. y'(0) = -1

Решение:
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -4 r + 4 = 0
D = (-4)2 - 4 • 1 • 4 = 0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e2x
y2 = xe2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии:y(0) = 0, y'(0) = -1
Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение:
c1 = 0
Находим первую производную:
y' = 2•c1•e2•x+2•c2•x•e2•x+c2•e2•x
Поскольку y'(0) = 2•c1+c2, то получаем второе уравнение:
2•c1+c2 = -1
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1 = 0
2•c1+c2 = -1
т.е.:
c1 = 0, c2 = -1
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 2•sin(2•x)
Поиск частного решения.
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 2, α = 0, β = 2.
Следовательно, число α + βi = 0 + 2i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные:
y' = 2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)
y'' = -4(A•cos(2x)+B•sin(2x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' -4y' + 4y = (-4(A•cos(2x)+B•sin(2x))) -4(2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)) + 4(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 2•sin(2•x)
или
8•A•sin(2x)-8•B•cos(2x) = 2•sin(2•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
8A = 2
0A -8B = 0
Решая ее, находим:
A = 1/4;B = 0;
Частное решение имеет вид:
y* = 1/4cos(2x) + 0sin(2x)
или
y* = 1/4cos(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример №4. Найти частное решение, общее решение и решение задачи Коши уравнения: y'' - 6y' + 9y = 9x2 +6x + 2, y(1) = 1, y'(1) = -1

Решение:
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -6 r + 9 = 0
D = (-6)2 - 4 • 1 • 9 = 0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 3 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e3x
y2 = xe3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии:y(1) = 1, y'(1) = -1
Поскольку y(1) = c1•e3+c2•e3, то получаем первое уравнение:
c1•e3+c2•e3 = 1
Находим первую производную:
y' = 3•c1•e3•x+3•c2•x•e3•x+c2•e3•x
Поскольку y'(1) = 3•c1•e3+4•c2•e3, то получаем второе уравнение:
3•c1•e3+4•c2•e3 = -1
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1•e3+c2•e3 = 1
3•c1•e3+4•c2•e3 = -1
которую решаем или методом матриц или методом исключения переменных.
c1 = 5/e3, c2 = -4/e3
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 9•x2+6•x+2
Поиск частного решения.
Здесь P(x) = 9•x2+6•x+2, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = 2•A•x+B
y'' = 2•A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' -6y' + 9y = (2•A) -6(2•A•x+B) + 9(Ax2 + Bx + C) = 9•x2+6•x+2
или
9•A•x2-12•A•x+2•A+9•B•x-6•B+9•C = 9•x2+6•x+2
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
9A = 9
-12A + 9B = 6
2A -6B + 9C = 2
Решая ее, находим:
A = 1;B = 2;C = 4/3;
Частное решение имеет вид:
y* = x2 + 2x + 4/3
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...