Подробный пример нахождения экстремума функции двух переменных

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №1. Исследовать на экстремум функции двух переменных.
z = (x-2)2 + 3y2
Решение.
z = (x-2)^2+3*y^2
1. Найдем частные производные.


2. Решим систему уравнений.
2•x-4 = 0
6•y = 0
Из первого уравнения выражаем x:
x = 2
6•y = 0
Откуда y = 0
Количество критических точек равно 1.
M1(2;0)
3. Найдем частные производные второго порядка.



4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(2;0)



Поскольку AC - B2 = 12 > 0 и A > 0 , то в точке M1(2;0) имеется минимум z(2;0) = 0
Вывод: В точке M1(2;0) имеется минимум z(2;0) = 0;

Пример №2. Исследовать на экстремум функцию

Решение.
1) Найдем частные производные:

dz/dy=6xy-12
2) тогда система для отыскания стационарных точек имеет вид
.
Решив систему, получим четыре стационарные точки:
P1(1,2), P2(2,1), P3(-1,-2), P4(-2,-1). Найдем производные 2-го порядка

и составим дискриминант ∆AB-C2 для каждой стационарной точки.
1) Для точки P1(1,2) Δ=36-144<0, в P1(1,2) экстремума нет.
2) Для точки P2(2,1), Δ =144 – 36 >0, A>0, в P2(2,1)функция имеет минимум, zmin = -28
3) Для точки P3(-1,-2), Δ = 36-144 <0, в P3(-1,-2) экстремума нет.
4) Для точки P4(-2,-1), Δ=144 – 36 >0, A<0 в P4(-2,-1) функция имеет максимум zmax=28

Пример №3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 + 4xy – y2 – 6x – 2y в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой 2x + 3y – 6 = 0.
Решение.
Найдем критические точки локального экстремума внутри указанной области и значения данной функции z = f(x,y) в этих точках. Так как ,, то система для отыскания критических точек имеет вид
.
Точка P0(1;1) находится внутри области, причем z(P0) = -4. Исследуем функцию z на границе области. На отрезке ОА имеем : y=0, z = f(x;0) или g1(x)=x2 – 6x, где; g’1=2x-6; g’1(3)=0; g1(3)=f(3;0)=-9. На отрезке ОВ имеем: x=0. z=f(0;y) или z=g2(y)=-y2-2y, где , . На отрезке АВ имеем или
где; ; ,
.
Найдем значения функции z в точках О, А и В. z(0) = f(0,0) = 0; z(A) = f(3;0) = -9, z(B) = f(0;2) = -8.
Сравнивая значения , приходим к выводу:
наибольшее значение zmax=0 в т. O(0,0);
наименьшее значение zmin=-9 в т. A(3,0).

загрузка...