Примеры нахождения частных производных

Задача 2. Найти частные производные , и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3z) + 2y2 + 3x = 0.
Решение находим с помощью калькулятора.
Для F(x, y, z) = 4x2 y ez – cos(x3z) + 2y2 + 3x получаем:
Fx= (4x2 yez – cos(x3z) + 2y2 + 3x)’x = [считаем y и z постоянными] =
= 8x y ez + sin( x3z)3x2 + 3 = 8x y ez + 3x2 sin( x3z) + 3;
Fy= (4x2 y ez – cos(x3z) + 2y2 + 3x)’y = [считаем x и z постоянными] =
= 4x2 ez + 4y;
Fz = (4x2 y ez – cos(x3z) + 2y2 + 3x)’z = [считаем x и y постоянными] =
= 4x2 y ez – sin (x3z).
По формулам находим частные производные:
;
и по формуле (3) получаем: .
Ответы: ;
.

Задание. Найти частные производные функции z в точке A(-1;0).
z = ln(x2+y2)+y/x
Решение.
Находим частные производные:

Задание №2. Найти частные производные 1-го и 2-го порядка.
z = x3 + 3x2y – sin(xy)
Скачать решение

Задача 1. Дана функция z = f(x,y). Требуется:
1) найти частные производные dz/dx и dz/dy;
2) найти полный дифференциал dz;
3) показать, что для данной функции справедливо равенство: d2z/dxdy = d2z/dydx.

Пример 1. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение.
Найдем частные производные и .
,
.
Подставим их в уравнение
.
Получим тождество. Следовательно, функция z удовлетворяет данному уравнению.

Пример 2. Дана функция и две точки A(4;2 )и B(4.03;1.96). Требуется: 1) вычислить значение функции в точке В;
2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность, возникшую при замене приращения функции ее дифференциалом.
Решение.
1. .
2..
Итак, ; .
Найдем . , ;
, ;
.
;.

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...