Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. 
 Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: 
  r2 -6 r + 9 = 0 
 D = (-6)2 - 4 • 1 • 9 = 0 

 Корни характеристического уравнения: 
 Корень характеристического уравнения r1 = 3 кратности 2. 
 Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: 
 y1 = e3x 
 y2 = xe3x 
 Общее решение однородного уравнения имеет вид: 

 Найдем частное решение при условии:y(0) = 4/3, y'(0) = 1/27 
 Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение: 
 c1 = 4/3 
 Находим первую производную: 
 y' = c2•e3•x+3•c1•e3•x+3•c2•x•e3•x 
 Поскольку y'(0) = c2+3•c2, то получаем второе уравнение: 
 c2+3•c2 = 1/27 
 В итоге получаем систему из двух уравнений: 
 c1 = 4/3 
 c2+3•c2 = 1/27 
 т.е.: 
 c1 = 4/3, c2 = -107/27 
 Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: 

 Рассмотрим правую часть: 
 f(x) = x2-x+3 
 Поиск частного решения. 
 Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: 
 R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы 
 имеет частное решение 
 y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx)) 
 где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x). 
 Здесь P(x) = x2-x+3, Q(x) = 0, α = 0, β = 0. 
 Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения . 
 Уравнение имеет частное решение вида: 

 Вычисляем производные: 
 y' = B+2•A•x 
 y'' = 2•A 
 которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: 
 y'' -6y' + 9y = (2•A) -6(B+2•A•x) + 9(Ax2 + Bx + C) = x2-x+3 
  или  
 -6•B+2•A+9•C-12•A•x+9•B•x+9•A•x^2 = x2-x+3 
 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 
 2A -6B + 9C  = 3 
 -12A + 9B  = -1 
 9A  = 1 
 Решая ее, находим: 
 A = 1/9;B = 1/27;C = 1/3; 
 Частное решение имеет вид: 
 y* = 1/9x2 + 1/27x + 1/3 
 Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: 

 Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: 
 Решение линейных дифференциальных уравнений 
 Вместе с этой задачей решают также: 
 Диф уравнения 
 Copyright © Semestr.RU