Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. 
 Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: 
  r2 +5 r + 6 = 0 
 D = 52 - 4 • 1 • 6 = 1 

 Корни характеристического уравнения: 
 r1 = -2 
 r2 = -3 
 Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: 
 y1 = e-2x 
 y2 = e-3x 
 Общее решение однородного уравнения имеет вид: 

 Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = 3 
 Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение: 
 c1+c2 = 1 
 Находим первую производную: 
 y' = -3•c2•e-3•x-2•c1•e-2•x 
 Поскольку y'(0) = -3•c2-2•c2, то получаем второе уравнение: 
 -3•c2-2•c2 = 3 
 В итоге получаем систему из двух уравнений: 
 c1+c2 = 1 
 -3•c2-2•c2 = 3 
 которую решаем или методом матриц или методом исключения переменных. 
 c1 = 6, c2 = -5 
 Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: 

 Рассмотрим правую часть: 
 f(x) = 12•cos(2•x) 
 Поиск частного решения. 
 Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: 
 R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы 
 имеет частное решение 
 y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx)) 
 где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x). 
 Здесь P(x) = 12, Q(x) = 0, α = 0, β = 2. 
 Следовательно, число α + βi = 0 + 2i не является корнем характеристического уравнения . 
 Уравнение имеет частное решение вида: 
 y* = Acos(2x) + Bsin(2x) 
 Вычисляем производные: 
 y' = -2•A•sin(2x)+2•B•cos(2x) 
 y'' = -4•A•cos(2x)-4•B•sin(2x) 
 которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: 
 y'' + 5y' + 6y = (-4•A•cos(2x)-4•B•sin(2x)) + 5(-2•A•sin(2x)+2•B•cos(2x)) + 6(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 12•cos(2•x) 
  или  
 -10•A•sin(2x)+2•A•cos(2x)+2•B•sin(2x)+10•B•cos(2x) = 12•cos(2•x) 
 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 
 -10A + 2B  = 0 
 2A + 10B  = 12 
 Решая ее, находим: 
 A = 3/13;B = 15/13; 
 Частное решение имеет вид: 
 y* = 3/13cos(2x) + 15/13sin(2x) 
 Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: 

 Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: 
 Решение линейных дифференциальных уравнений 
 Вместе с этой задачей решают также: 
 Диф уравнения 
 Copyright © Semestr.RU