Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. 
 Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: 
  r2 -6 r + 9 = 0 
 D = (-6)2 - 4 • 1 • 9 = 0 

 Корни характеристического уравнения: 
 Корень характеристического уравнения r1 = 3 кратности 2. 
 Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: 
 y1 = e3x 
 y2 = xe3x 
 Общее решение однородного уравнения имеет вид: 

 Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной. 
 Для нахождения производных C'i составляем систему уравнений: 

 C'1(3•e3•x) + C'2(3•x•e3•x+e3•x) = x^2-x+3 
 Выразим C'1 из первого уравнения: 
 C'1 = -c2•x 
 и подставим во второе. В итоге получаем: 
 C'1 = x2•e-3•x-x3•e-3•x-3•x•e-3•x 
 C'2 = 3•e-3•x+x2•e-3•x-x•e-3•x 
 Интегрируем полученные функции C'i: 
 C1 = 1/3•e-3•x+x•e-3•x+1/3•x3•e-3•x + C*1 
 C2 = -26/27•e-3•x-1/3•x2•e-3•x+1/9•x•e-3•x + C*2 
 Записываем полученные выражения в виде: 
 C1 = (1/3•e-3•x+x•e-3•x+1/3•x3•e-3•x)•e3•x + C*1e3•x 
 C2 = x(-26/27•e-3•x-1/3•x2•e-3•x+1/9•x•e-3•x)•e3•x + C*2x•e3•x 
 или 
 C1 = 1/3+x+1/3•x3 + C*1e3•x 
 C2 = -26/27•x+1/9•x2-1/3•x3 + C*2x•e3•x 
 y = C1 + C2 
 Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: 

 Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: 
 Решение линейных дифференциальных уравнений 
 Вместе с этой задачей решают также: 
 Диф уравнения 
 Copyright © Semestr.RU