Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 +0 r + 4 = 0
D = 02 - 4 • 1 • 4 = -16

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 =  - 2i

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 4•(cos(2•x)+sin(2•x))
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 4•, Q(x) = 1, α = 0, β = 2.
Следовательно, число α + βi = 0 + 2i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = x (Acos(2x) + Bsin(2x))
Вычисляем производные:
y' = sin(2x)(B-2•A•x)+cos(2x)(A+2•B•x)
y'' = -4(sin(2x)(A+B•x)+cos(2x)(A•x-B))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
 y'' + 4y =  (-4(sin(2x)(A+B•x)+cos(2x)(A•x-B))) + 4(x (Acos(2x) + Bsin(2x))) = 4•(cos(2•x)+sin(2•x))
 или 
4•B•cos(2x)-4•A•sin(2x) = 4•(cos(2•x)+sin(2•x))
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
0A + 4B  = 4
-4A  = 1
Решая ее, находим:
A = -1/4;B = 1;
Частное решение имеет вид:
y* = x (-1/4cos(2x) + sin(2x))
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения