Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 +0 r + 1 = 0
D = 02 - 4 • 1 • 1 = -4

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 =  - i

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 2•sin(x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 2, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = x (Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y' = sin(x)(B-A•x)+cos(x)(A+B•x)
y'' = cos(x)(2•B-A•x)-sin(x)(2•A+B•x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
 y'' + y =  (cos(x)(2•B-A•x)-sin(x)(2•A+B•x)) + (x (Acos(x) + Bsin(x))) = 2•sin(x)
 или 
2•B•cos(x)-2•A•sin(x) = 2•sin(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
0A + 2B  = 0
-2A  = 2
Решая ее, находим:
A = -1;B = 0;
Частное решение имеет вид:
y* = x (-cos(x) + 0sin(x))
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения