Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 +3 r + 2 = 0
D = 32 - 4 • 1 • 2 = 1

Корни характеристического уравнения:
r1 = -2
r2 = -1
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e-2x
y2 = e-x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = sin(2•x)+2•cos(2•x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = sin(2•x)+2, Q(x) = 0, α = 0, β = 2.
Следовательно, число α + βi = 0 + 2i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = (Ax + B)cos(2x) + (Cx + D)sin(2x)
Вычисляем производные:
y' = sin(2x)(-2•A•x-2•B+C)+cos(2x)(A+2(C•x+D))
y'' = -4•cos(2x)(A•x+B-C)-4•sin(2x)(A+C•x+D)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
 y'' + 3y' + 2y =  (-4•cos(2x)(A•x+B-C)-4•sin(2x)(A+C•x+D)) + 3(sin(2x)(-2•A•x-2•B+C)+cos(2x)(A+2(C•x+D))) + 2((Ax + B)cos(2x) + (Cx + D)sin(2x)) = sin(2•x)+2•cos(2•x)
 или 
 = sin(2•x)+2•cos(2•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
0 = 0
Решая ее, находим:
A = 0;
Частное решение имеет вид:
y* = (  B)cos(2x) + (Cx + D)sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения