Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 +0 r + 1 = 0
D = 02 - 4 • 1 • 1 = -4

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = i

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = (x+1)•e-x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x+1, Q(x) = 0, α = -1, β = 0.
Следовательно, число α + βi = -1 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = -e-x(A(x-1)+B)
y'' = e-x(A(x-2)+B)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
 y'' + y =  (e-x(A(x-2)+B)) + ((Ax + B)e-x) = (x+1)•e-x
 или 
-2•A•e-x+2•A•e-x•x+2•B•e-x = (x+1)•e-x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-2A + 2B  = 1
2A  = 1
Решая ее, находим:
A = 1/2;B = 1;
Частное решение имеет вид:
y* = (1/2x + 1)e-x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения