Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 +0 r + 4 = 0
D = 02 - 4 • 1 • 4 = -16

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = 2i

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = (6•x+5)•e-2•x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 6•x+5, Q(x) = 0, α = -2, β = 0.
Следовательно, число α + βi = -2 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = e-2x(-2•A•x+A-2•B)
y'' = 4•e-2x(A(x-1)+B)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
1y'' + 4y = 1(4•e-2x(A(x-1)+B)) + 4((Ax + B)e-2x) = (6•x+5)•e-2•x
 или 
-4•A•e-2x+8•A•e-2x•x+8•B•e-2x = (6•x+5)•e-2•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-4A + 8B  = 5
8A  = 6
Решая ее, находим:
A = 3/4;B = 1;
Частное решение имеет вид:
y* = (3/4x + 1)e-2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения