Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 +2 r + 3 = 0
D = 22 - 4 • 1 • 3 = -8

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 3•x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 3•x, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Ax + B
Вычисляем производные:
y' = A
y'' = 0
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
 y'' + 2y' + 3y =  2(A) + 3(Ax + B) = 3•x
 или 
3•A•x+2•A+3•B = 3•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
3A  = 3
2A + 3B  = 0
Решая ее, находим:
A = 1;B = -2/3;
Частное решение имеет вид:
y* = x + -2/3
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения