Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 -2 r + 1 = 0
D = (-2)2 - 4 • 1 • 1 = 0

Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 1 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = ex
y2 = xex
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = x•e2•x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = e2x(2•A•x+A+2•B)
y'' = 4•e2x(A•x+A+B)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' -2y' + 1y = (4•e2x(A•x+A+B)) -2(e2x(2•A•x+A+2•B)) + 1((Ax + B)e2x) = x•e2•x
 или 
2•A•e2x+A•e2x•x+B•e2x = x•e2•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2A + 1B  = 0
1A  = 1
Решая ее, находим:
A = 1;B = -2;
Частное решение имеет вид:
y* = (x -2)e2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения