Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
4 r2 - r + 0 = 0
D = (-1)2 - 4 • 4 • 0 = 1

Корни характеристического уравнения:

r2 = 0
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e1/4x
y2 = e0x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 2
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 2, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r2).
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Ax 
Вычисляем производные:
y' = A
y'' = 0
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
 4y'' -y' =  -(A) = 2
 или 
-A = 2
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-1A  = 2
Решая ее, находим:
A = -2;
Частное решение имеет вид:
y* = -2x 
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения