Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 +0 r + 1 = 0
D = 02 - 4 • 1 • 1 = -4

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = i

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 4•ex
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 4, Q(x) = 0, α = 1, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 1 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = A•ex
y'' = A•ex
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
 y'' + y =  (A•ex) + (Aex) = 4•ex
 или 
2•A•ex = 4•ex
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2A  = 4
Решая ее, находим:
A = 2;
Частное решение имеет вид:
y* = 2ex
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения