Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 +2 r - 8 = 0
D = 22 - 4 • 1 • (-8) = 36

Корни характеристического уравнения:
r1 = 2
r2 = -4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e2x
y2 = e-4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 74•sin(2•x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 74, α = 0, β = 2.
Следовательно, число α + βi = 0 + 2i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные:
y' = 2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)
y'' = -4(A•cos(2x)+B•sin(2x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
1y'' + 2y' -8y = 1(-4(A•cos(2x)+B•sin(2x))) + 2(2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)) -8(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 74•sin(2•x)
 или 
-4•A•sin(2x)-12•A•cos(2x)-12•B•sin(2x)+4•B•cos(2x) = 74•sin(2•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-4A -12B  = 74
-12A + 4B  = 0
Решая ее, находим:
A = -37/20;B = -111/20;
Частное решение имеет вид:
y* = -37/20cos(2x) -111/20sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения