Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 -7 r + 6 = 0
D = (-7)2 - 4 • 1 • 6 = 25

Корни характеристического уравнения:
r1 = 1
r2 = 6
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = ex
y2 = e6x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = sin(x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 1, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Acos(x) + Bsin(x)
Вычисляем производные:
y' = B•cos(x)-A•sin(x)
y'' = -A•cos(x)-B•sin(x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
 y'' -7y' + 6y =  (-A•cos(x)-B•sin(x)) -7(B•cos(x)-A•sin(x)) + 6(Acos(x) + Bsin(x)) = sin(x)
 или 
7•A•sin(x)+5•A•cos(x)+5•B•sin(x)-7•B•cos(x) = sin(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
7A + 5B  = 1
5A -7B  = 0
Решая ее, находим:
A = 7/74;B = 5/74;
Частное решение имеет вид:
y* = 7/74cos(x) + 5/74sin(x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения