Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 -5 r + 0 = 0
D = (-5)2 - 4 • 1 • 0 = 25

Корни характеристического уравнения:
r1 = 5
r2 = 0
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e5x
y2 = e0x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = -10•x+7
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = -10•x+7, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r2).
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = x (Ax + B)
Вычисляем производные:
y' = 2•A•x+B
y'' = 2•A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
1y'' -5y' = 1(2•A) -5(2•A•x+B) = -10•x+7
 или 
-10•A•x+2•A-5•B = -10•x+7
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-10A  = -10
2A -5B  = 7
Решая ее, находим:
A = 1;B = -1;
Частное решение имеет вид:
y* = x (x -1)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения