Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 +4 r + 0 = 0
D = 42 - 4 • 1 • 0 = 16

Корни характеристического уравнения:
r1 = 0
r2 = -4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e0x
y2 = e-4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = cos(3•x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 3.
Следовательно, число α + βi = 0 + 3i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Acos(3x) + Bsin(3x)
Вычисляем производные:
y' = 3•B•cos(3x)-3•A•sin(3x)
y'' = -9(A•cos(3x)+B•sin(3x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
1y'' + 4y' = 1(-9(A•cos(3x)+B•sin(3x))) + 4(3•B•cos(3x)-3•A•sin(3x)) = cos(3•x)
 или 
-12•A•sin(3x)-9•A•cos(3x)-9•B•sin(3x)+12•B•cos(3x) = cos(3•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-12A -9B  = 0
-9A + 12B  = 1
Решая ее, находим:
A = -1/25;B = 4/75;
Частное решение имеет вид:
y* = -1/25cos(3x) + 4/75sin(3x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения