Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 +0 r - 2 = 0
D = 02 - 4 • 1 • (-2) = 8

Корни характеристического уравнения:

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = sin(x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 1, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Acos(x) + Bsin(x)
Вычисляем производные:
y' = B•cos(x)-A•sin(x)
y'' = -A•cos(x)-B•sin(x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
 y'' -2y =  (-A•cos(x)-B•sin(x)) -2(Acos(x) + Bsin(x)) = sin(x)
 или 
-3•A•cos(x)-3•B•sin(x) = sin(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-3A  = 0
0A -3B  = 1
Решая ее, находим:
A = 0;B = -1/3;
Частное решение имеет вид:
y* = 0cos(x) + -1/3sin(x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения