Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 -5 r + 4 = 0
D = (-5)2 - 4 • 1 • 4 = 9

Корни характеристического уравнения:
r1 = 1
r2 = 4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = ex
y2 = e4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 5•e3•x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 5, Q(x) = 0, α = 3, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 3 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = 3•A•e3x
y'' = 9•A•e3x
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
 y'' -5y' + 4y =  (9•A•e3x) -5(3•A•e3x) + 4(Ae3x) = 5•e3•x
 или 
-2•A•e3x = 5•e3•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-2A  = 5
Решая ее, находим:
A = -21/2;
Частное решение имеет вид:
y* = -21/2e3x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения