Примеры решений на тему "Функция Лагранжа"

Пример №1. В задаче выпуклого программирования требуется:
  1. найти решение графическим методом;
  2. написать функцию Лагранжа и найти ее седловую точку, используя решение, полученное графически.
F(X) = x12+(x2-2)2
2x1+x2 ≥ 7
x1+2x2 ≥ 5

Решение. 1) Строим два ограничения, тем самым определяя ОДР.

Затем строим функцию цели. В данном случае это окружность.
Графическое решение задачи выпуклого программирования
Поскольку задача минимума, то ищем первое касание линии уровня области ОДР. В данном случае это точка пересечения с прямой 2x1+x2-7=0.
Найдем точку пересечения. Для этого построим уравнение касательной, проходящей через центр окружности O(0;2) и перпендикулярно прямой 2x1+x2-7=0 (можно использовать этот калькулятор). Получаем: 2x2-x1-4=0. Решая систему уравнений:
2x1+x2-7=0
2x2-x1-4=0,
получаем: x1=2, x2=3.

2) Найдем экстремум функции F(X) = x12+(x2-2)2, используя калькулятор Функция Лагранжа:

где F(X) - целевая функция вектора X; φi(X) - ограничения в неявном виде (i=1..n)
В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает функция: F(X) = x12+(x2-2)2
Перепишем ограничение задачи в неявном виде:
φ1(X) = 7 - (2*x1+x2) = 0 (X1)
φ2(X) = 5 - (x1+2*x2) = 0 (X2)
Составим вспомогательную функцию Лагранжа: L(X, λ) = x12+(x2-2)2 - λ1*(7 - (2*x1+x2)) - λ2*(5 - (x1+2*x2))
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенным множителям λ.
Составим систему:
∂L/∂x1 = 2*λ12+2*x1 = 0
∂L/∂x2 = λ1+2*λ2+2*x2-4 = 0
∂L/∂λ1 = 2*x1+x2-7 = 0
∂L/∂λ2 = x1+2*x2-5 = 0
Решив данную систему, получаем:
а) для случая X1: x1 = λ1/2 + λ2 + 2; x2 = 7 - 2x1
Откуда можно найти такие λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0. Пусть λ2 = 0. Тогда λ1 = 2; x1 = 2; x2 = 3.
Поскольку λ2 ≥ 0, то данное решение удовлетворяет условиям Куна-Таккера. Zmin(2;3)=5

б) для случая X2: x2 = λ1/2 + λ2 + 2; x1 = 5 - 2x2
Откуда можно найти такие λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0. Пусть λ2 = 0. Тогда λ1 = 2/5; x1 = 11/5; x2 = 3/5.
Поскольку λ1 ≥ 0, то данное решение удовлетворяет условиям Куна-Таккера. Zmin(11/5;3/5)=6.8

Минимальное значение составит Zmin(2;3)=5.

см. также прикладное использование метода Лагранжа, Оптимальная производственная программа

загрузка...