Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Существует способ построения графика функции, основанный на аналитическом исследовании функции. Исследование проводится по следующей примерной схеме:
1) выяснение области определения функции;
2) решается вопрос о четности или нечетности функции;
3) исследуется периодичность функции;
4) находят точки пересечения кривой с осями координат;
5) находят точки разрыва функции и определяют их характер;
6) проводят исследования на экстремум, находят экстремальные значения функции;
7) ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой;
8) отыскание асимптот кривой;
9) полученные результаты наносят на чертеж и получают график исследуемой функции.
Инструкция

Пример №1. Провести полное исследование функции Провести полное исследование функции и построить ее график.

1) Функция определена всюду, кроме точек Область определения функции.

2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f (x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.

3) Функция не периодическая.

4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

5) Функция имеет разрыв второго рода в точке точки разрыва функции, причем точки разрыва второго рода, . Попутно отметим, что прямая вертикальная асимптота – вертикальная асимптота.

6) Находим Первая производная функции и приравниваем ее к нулю: точки экстремума функции, откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).

В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.

Найти первую производную функции

Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.

7) Находим вторая производная функции. Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке точки перегиба функции и y”<0 на вогнутость и выпуклость функции, следовательно, на  кривая вогнута и выпукла на как определить вогнутость функции.

Найти вторую производную функции

8) Выясним вопрос об асимптотах.

Наличие вертикальной асимптоты определение асимптоты установлено выше. Ищем горизонтальные: как найти асимптоту, следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты: наклонные асимптоты, наклонная двусторонняя асимптота, следовательно, y=-x – наклонная двусторонняя асимптота.

9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:

Алгоритм исследования построения графика функции
Построить график функции

Пример №2. Построить график функции
.
Решение.
1. Область определения функции D(y) = (-∞;0)U(0;∞).
2. Функция не является четной или нечетной.
3. Найдем точки пересечения графика с осью ОХ; имеем
; .
4. Точки разрыва x=0, причем ; следовательно, x=0 является вертикальной асимптотой графика.
Найдем наклонные асимптоты:
;
.
Наклонная асимптота имеет уравнение .
5. Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем . Существует единственная критическая точка x=2. В промежутках , следовательно, функция возрастает; в промежутке , функция убывает. Далее, находим ; , следовательно, x=2 – точка минимума ymin=3.
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Так как y’’>0 (x≠0), то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет.
Строим график функции.

загрузка...