Неопределенный интеграл

Определение и свойства неопределенного интеграла

Будем заниматься задачей, обратной к задаче нахождения производной.
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)(дифференциала f(x)dx) на отрезке [a,b], если F’(x) = f(x) для .
Нетрудно видеть, что функция является первообразной для функции cos3x. Действительно,
.
Докажем несколько свойств первообразных.
Теорема 1. Если F(x) – первообразная для функции f(x), то F(x) + C, где C- некоторая константа, также является первообразной для f(x).
Доказательство. Действительно, (F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x). Теорема доказана.
Теорема 2. Если F(x) и Ф(x) две первообразные одной и той же функции, то их разность F(x) – Ф(x) есть константа на [a,b].
Следствие. Любые две первообразные одной и той же функции связаны соотношением Ф(x) = F(x) + C.
Определение. Множество всех первообразных функции f(x) (дифференциала f(x)dx) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается .

Свойства неопределенного интеграла:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Свойства 3 и 4 означают линейность операции интегрирования. Свойство 5 следует из инвариантности формы первого дифференциала и лежит в основе нахождения интеграла с помощью замены переменной.
Используя свойства 1-5 и свойства дифференциалов, сводят вычисление интегралов к так называемым табличным интегралам. Таблица интегралов обратна к таблице производных и может быть легко получена.

Таблица интегралов

Также рекомендуется изучить сервис решение интегралов онлайн

загрузка...