Интегральное исчисление

Основные понятия и формулы

Неопределенный интеграл

Определение 1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если выполняется равенство или .

Определение 2: Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается:

.

Основные свойства неопределенного интеграла:
1.
2. ;
3. ;
4. .

Таблица интегралов

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.

Методы вычисления

  1. Подведение под знак дифференциала.
  2. Интегрирование по частям.
  3. Простейшие преобразования подынтегрального выражения (пример).
  4. Интегрирование рациональных дробей (пример).
  5. Интегрирование иррациональных функций.
  6. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

Вычисление неопределенного интеграла методом подстановки (замены переменной)

Этот метод заключается в том, что заменяют переменную х на,где - непрерывно дифференцируемая функция, полагают и получают . При этом получают искомую функцию, выраженную через переменную t. Для возвращения к переменной х необходимо заменить t значением , которое находится из соотношения .

Определенный интеграл и его свойства

Определение 3: Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Свойства определенного интеграла


1.
2.
3.
4.
5. ,

Формула Ньютона-Лейбница =F(b)-F(a)

Геометрический смысл определенного интеграла

Если функция на отрезке [a;b], то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями y = f(x), x = a, x = b, y = 0( рис.5)

Рис. 5
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и отрезком оси ОХ, вычисляется по формуле.
Площадь фигуры, ограниченной кривыми , прямыми , вычисляется по формуле.

Пример 20: Вычислить неопределенный интеграл .
Решение:
=.

Пример 21: Вычислить неопределенный интеграл .
Решение:=.

Пример 22: Вычислить неопределенный интеграл
Решение:=

Пример 23: Вычислить неопределенный интеграл
Решение:
=

Пример 24: Вычислить неопределенный интеграл
Решение:

Пример 25: Вычислить неопределенный интеграл
Решение:
=

Пример 26: Вычислить определенный интеграл .
Решение:
=

Пример 27. Вычислить определенный интеграл: .
Решение:
.

Пример 28. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной
Решение:
==
.

Пример 29. Вычислить определенный интеграл: .
Решение:
.

Пример 30. Сделать чертеж и вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение:
1. Сделаем чертеж.
Графиком функции y = -x2+1 является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы: ; ; . Вершина параболы имеет координаты (0;1). Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ: . Точки пересечения с осью ОХ (-1;0) и (1;0).

х 0 1
у -1 0

Графиком функции y = x - 1 является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек
Сделаем чертеж (рис.6).

Рис. 6

2. Найдем точки пересечения графиков функции (границы интегрирования). Для этого приравняем функции и решим уравнение
по теореме Виета

3. Вычислим площадь фигуры ограниченной графиками функций, используя геометрический смысл определенного интеграла.

Ответ: Площадь фигуры ограниченной линиями равна 4,5 ед2.

см. также Приложения определённого интеграла.

загрузка...