Интервалы возрастания и убывания функции

С помощью данного сервиса можно найти интервалы возрастания и убывания функции в онлайн режиме с оформлением решения в Word.
Найти интервалы возрастания и убывания функции
y =
Находить точки перегиба (интервалы выпуклости и вогнутости)
Правила ввода функций:
  1. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, x2+x, записываем как x^2+x.
  2. Корень квадратный: sqrt. Например, sqrt(x^2+1/2), arcsin(x) = asin(x), ex = exp(x), число π = pi.

Исследование функции с помощью производной

Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0) > f(x).

Определение: Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0) < f(x).
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f ’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции y = f(x) с помощью первой производной

  1. Найти производную функции f ’(x).
  2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
  3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f ’(x) < 0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f ’(x) > 0, то на этом промежутке функция возрастает.
  4. Если в окрестности критической точки f ’(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
  5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример №1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x) = x3 – 3x2.
Решение: Найдем первую производную функции f ’(x) = 3x2 – 6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x2 – 6x =0; 3x(x-2) =0 ; x = 0, x = 2

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

f(0) = 03 – 3*02 = 0
f(2) = 23 – 3*22 = -4
Ответ: Функция возрастает при ;
функция убывает при ;
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Правило нахождения экстремумов функции y = f(x) с помощью второй производной

  1. Найти производную f ’(x).
  2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f ’(x) = 0.
  3. Найти вторую производную f ’’(x).
  4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
  5. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f"(x) ≥ 0 при всех х [a, b].

Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.

Пример №2. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x2 – 2x - 3.
Решение: Находим производную: f ‘(x) = 2x - 2.
Решая уравнение f ’(x) = 0, получим стационарную точку х=1. Найдем теперь вторую производную: f ’’(x) = 2.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f’’(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: fmin = f(1) = -4.
Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).

загрузка...