Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Рассмотрим множество M[a,b] всех определённых на отрезке [a,b] функций. На этом множестве введём операции:

1) сложения элементов по правилу

;

2) умножения элемента на скаляр по закону .

Относительно введённых операций M[a,b] является линейным пространством, так как выполнены все аксиомы линейного пространства [1,2,12].

Рассмотрим два подмножества множества M[a,b]:

C[a,b] - множество непрерывных на [a,b] функций;

Cn[a,b]- множество n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a,b] функций.

Отметим, что имеет место поэлементное включение . Так как введённые линейные операции не выводят за пределы множеств C[a,b] и Cn[a,b] соответственно, то они являются линейными подпространствами пространства M[a,b]. Следовательно, как самостоятельные объекты, они являются линейными пространствами. В отличие от рассмотренных в линейной алгебре пространств, введённые пространства бесконечномерные.

Определим оператор L:Cn[a,b]→C[a,b] следующим образом

.

Докажем, что оператор линеен. Действительно, так как для любых производных порядка k выполняется равенство

,

то можно записать

.

Сравнивая крайние части этого равенства, убеждаемся в справедливости высказанного утверждения.

Уравнение вида L(y)=b(x), где b(x)- некоторая функция, а L(y)- введённый выше оператор, называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка. Иногда будем пользоваться подробными записями этого уравнения

an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1) + … + a1(x)y' + a0(x)y = b(x), (5.23)

или

. (5.23а)

Так же, как и для уравнений первого порядка, для линейных уравнений порядка n теорема существования и единственности имеет более конкретный вид.

Теорема. Пусть функции ak(x), 0≤k≤n, и b(x) определены и непрерывны на отрезке [α, β] и пусть x0 - некоторая точка этого отрезка. Тогда для любого набора начальных данных (5.20) (o) существует единственное решение уравнения (5.23), определённое на всём отрезке [α, β].

Доказательство этого результата опустим.

Отметим, что свойства решений линейных дифференциальных уравнений L(y)=b(x) и L(y)=0 подобны свойствам решений систем линейных алгебраических уравнений Ax=B и Ax=0. Приведём эти свойства.

Теорема (о наложении решений). Если y1,y2- решения уравнений L(y)=b1 и L(y)=b2 соответственно, то линейная комбинация α1y1+ α2y2 есть решение уравнения L(y) = α1b1+ α2b2.

Доказательство. В силу линейности оператора L имеем L(α1y1+ α2y2) = α1L(y1)+ α2L(y2) = α1b1+ α2b2. Теорема доказана.

Следствие. Если y1- решение уравнения L(y)=b1, y2- решение уравнения L(y)=0, то y1+y2- решение уравнения L(y)=b1.

Следствие. Любая линейная комбинация решений уравнения L(y)=0 снова есть решение этого уравнения.

Доказательство. Пусть y1,y2,..,ym есть решения уравнения L(y)=0. Тогда .

Следствие доказано.

Следствие. Множество всех решений уравнения L(y)=0 образует линейное подпространство пространства Cn[a,b].

Доказательство. По предыдущему следствию линейные операции над решениями уравнения L(y)=0 не выводят за пределы множества решений этого уравнения, что и доказывает следствие.

Определение. Любой базис пространства решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Так же как и в линейной алгебре, имеет место следующий результат.

Теорема (о виде общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения L(y)=b есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого либо частного решения неоднородного уравнения.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы о виде общего решения линейного однородного дифференциального уравнения и поэтому мы его опустим.

Решить линейные дифференциальные уравнения высших порядков онлайн можно с помощью специального сервиса Дифференциальные уравнения онлайн.

загрузка...