Системы дифференциальных уравнений

Если ввести в рассмотрение векторы y=(y₁,y₂,…,y_n)^T, f=(f₁,f₂,…,f_n)^T и вспомнить [1,3], что производная вектор-функции по скалярному аргументу вычисляется по формуле y'=(y₁', y₂',…, y_n')^T, то систему (40) можно записать в векторной форме y'=f(x,y), которая по виду совпадает с записью дифференциального уравнения первого порядка.

Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (40) можно поставить задачу Коши: найти решение (y₁,y₂,…,y_n)^T системы (40), удовлетворяющее начальным условиям
(y₁(x₀), y₂(x₀), ... , y_n(x₀))^T = (y₁⁰, y₂⁰, ... , y_n⁰)^T, (41)
В векторной форме условия (41) имеют вид y(x₀)=y₀.
Так же, как и для дифференциальных уравнений, для систем дифференциальных уравнений справедлива теорема существования и единственности.

Теорема. Если все функции f_i, i=1,n, непрерывны по x и удовлетворяют условию Липшица по y_i, i=1,n, то решение задачи Коши (40), (41) существует и единственно.
Доказательство этого результата опустим.
Если функции f_i, i=1,n не зависят от x, то система (40) называется автономной. В этом случае обычно вместо x пишут t и систему записывают в виде

или в векторной форме y'=f(y). Если трактовать независимую переменную как время, то автономные системы отличаются тем, что их поведение не зависит от начала отсчёта переменной t, а зависит от начальной точки и времени, прошедшего с начала процесса. Действительно, сделав замену переменных τ=t-t₀, получим

В общем случае для решения систем имеются методы интегрируемых комбинаций и исключения неизвестных. Как указывалось ранее, любое уравнение порядка n можно свести к системе n уравнений в нормальной форме. Возможна и обратная процедура. На этой идее и основан метод исключения неизвестных. Разберём его на примерах.

Примеры

1. Для системы дифференциальных уравнений

выражая y из второго уравнения, имеем y=-x'+cost, y'=-x''-sint. Подставляя в первое уравнение и приводя подобные, получаем уравнение x''+4x'+3x=0. Это линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Корни его характеристического уравнения r² + 4r + 3 = 0 равны r₁ = -3, r₂ = -1.

Поэтому x=C₁e^-3t + C₂e^-t. Подставляя в выражение для y, получаем y=3C₁e^-3t + C₂e^-t + cost или в векторной форме .

2. Найдём решение системы дифференциальных уравнений

Выражая из первого уравнения y получаем . Следовательно, и, подставляя во второе уравнение, имеем x''+9x=0. Это линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Корни его характеристического полинома r²+9 равны r_1,2=±3i Поэтому общее решение полученного уравнения есть x=C₁cos3t + C₂sin3t. Подставляя в выражение для y, получаем или в векторной форме

Системы линейных уравнений

y'=A(x)y + b(x) (42а)

Будем, по возможности, пользоваться матричной формой записи. Если b(x)=0, то получаем соответствующую систему однородных уравнений

y'=A(x)y. (43)

Для систем линейных уравнений строится теория, полностью эквивалентная теории линейных уравнений порядка n. В частности, справедлива теорема о наложении решений и её следствия. В том числе и теорема о том, что множество решений однородной системы (43) образует линейное подпространство в пространстве дифференцируемых вектор-функций.
Так же как для векторов [1,2] и систем функций, для систем вектор-функций вводятся понятия их линейной зависимости и линейной независимости.

Определение. Система вектор-функций y¹,y²,…,y^m называется линейно зависимой на отрезке [a,b], если существуют числа α₁, α₂,…, α_m, , не все из которых равны нулю, такие, что

всюду на [a,b], и линейно независимой, если такого ненулевого набора не существует.

Рассмотрим совокупность вектор-функций y¹,y²,…,y^m. Определитель, составленный из их координат,

называется определителем Вронского, или вронскианом системы вектор-функций y¹,y²,…,y^m.
Определитель Вронского служит индикатором линейной зависимости системы вектор-функций.

Теорема. Если система вектор-функций линейно зависима, то её определитель Вронского W(x) равен нулю.

Теорема. Если y¹,y²,…,y^m - линейно независимая совокупность решений системы однородных уравнений y'=A(x)y, то её определитель Вронского W(x) отличен от нуля для всех x∈[α, β].
Удостоверимся в существовании базиса в пространстве решений системы уравнений y'=A(x)y.

Теорема. Для любой однородной системы линейных дифференциальных уравнений y'=A(x)y порядка n существует система n линейно независимых решений этого уравнения.
Доказательство. Возьмём матрицу
(44)
с определителем, отличным от нуля. Тогда строки и столбцы этой матрицы линейно независимы. Найдём такие решения y^j(x), j=1,2,..,n, системы уравнений y'=A(x)y, чтобы выполнялись соотношения y_k^j(x₀)=q_k^j, k=1,2,...,n. По теореме существования и единственности такой набор решений существует. Найденная система решений линейно независима, так как её определитель Вронского в точке x₀ совпадает с определителем матрицы (44). Теорема доказана.
Матрицу (44) можно взять единичную.

Теорема (о виде общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений). Если y¹,y²,…,yⁿ - линейно независимая совокупность решений однородной системы уравнений y'=A(x)y, то любое решение этой системы есть линейная комбинация решений y¹,y²,…,yⁿ, то есть

и, следовательно, y¹,y²,…,yⁿ - базис пространства решений системы уравнений y'=A(x)y.

см. также Решение системы линейных дифференциальных уравнений методом вариации произвольной постоянной