Системы дифференциальных уравнений

Система уравнений, связывающая независимую переменную, искомые функции и некоторое количество их производных, то есть система уравнений вида

называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Если эта система разрешена относительно старших производных y(n1)1 y(n2)2…, y(nk)k то она называется системой в канонической форме и имеет вид
Эту систему путём введения новых неизвестных функций [9-11] можно привести к виду
(5.40)
которая называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме или системой обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши.

Если ввести в рассмотрение векторы y=(y1,y2,…,yn)T, f=(f1,f2,…,fn)T и вспомнить [1,3], что производная вектор-функции по скалярному аргументу вычисляется по формуле y'=(y1', y2',…, yn')T, то систему (5.40) можно записать в векторной форме y'=f(x,y), которая по виду совпадает с записью дифференциального уравнения первого порядка.

Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5.40) можно поставить задачу Коши: найти решение (y1,y2,…,yn)T системы (5.40), удовлетворяющее начальным условиям
(5.41)
В векторной форме условия (5.41) имеют вид y(x0)=y0.
Так же, как и для дифференциальных уравнений, для систем дифференциальных уравнений справедлива теорема существования и единственности.

Теорема. Если все функции fi, i=1,n, непрерывны по x и удовлетворяют условию Липшица по yi, i=1,n, то решение задачи Коши (5.40), (5.41) существует и единственно.
Доказательство этого результата опустим.
Если функции fi, i=1,n не зависят от x, то система (5.40) называется автономной. В этом случае обычно вместо x пишут t и систему записывают в виде

или в векторной форме y'=f(y). Если трактовать независимую переменную как время, то автономные системы отличаются тем, что их поведение не зависит от начала отсчёта переменной t, а зависит от начальной точки и времени, прошедшего с начала процесса. Действительно, сделав замену переменных τ=t-t0, получим

В общем случае для решения систем имеются методы интегрируемых комбинаций и исключения неизвестных. Как указывалось ранее, любое уравнение порядка n можно свести к системе n уравнений в нормальной форме. Возможна и обратная процедура. На этой идее и основан метод исключения неизвестных. Разберём его на примерах.

Примеры

1. Для системы дифференциальных уравнений

выражая y из второго уравнения, имеем y=-x'+cost, y'=-x''-sint. Подставляя в первое уравнение и приводя подобные, получаем уравнение x''+4x'+3x=0. Это линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Корни его характеристического уравнения r2 + 4r + 3 = 0 равны r1 = -3, r2 = -1.

Поэтому x=C1e-3t + C2e-t. Подставляя в выражение для y, получаем y=3C1e-3t + C2e-t + cost или в векторной форме .

2. Найдём решение системы дифференциальных уравнений

Выражая из первого уравнения y получаем . Следовательно, и, подставляя во второе уравнение, имеем x''+9x=0. Это линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Корни его характеристического полинома r2 + 9 равны r1,2 = ±3i Поэтому общее решение полученного уравнения есть x=C1cos3t + C2sin3t. Подставляя в выражение для y, получаем или в векторной форме

Системы линейных уравнений

Если в системе (5.40) все функции fi линейны по переменным y1,y2,..,yn, то она называется линейной. В этом случае её можно переписать в виде
(5.42)
Обозначая матрицу системы через A(x), а вектор (b1(x),b2(x),…,bn(x))T через b(x) систему (5.42) можем переписать в матричной форме,

y'=A(x)y + b(x) (5.42а)

Будем, по возможности, пользоваться матричной формой записи. Если b(x)=0, то получаем соответствующую систему однородных уравнений

y'=A(x)y. (5.43)

Для систем линейных уравнений строится теория, полностью эквивалентная теории линейных уравнений порядка n. В частности, справедлива теорема о наложении решений и её следствия. В том числе и теорема о том, что множество решений однородной системы (5.43) образует линейное подпространство в пространстве дифференцируемых вектор-функций.
Так же как для векторов [1,2] и систем функций, для систем вектор-функций вводятся понятия их линейной зависимости и линейной независимости.

Определение. Система вектор-функций y1,y2,…,ym называется линейно зависимой на отрезке [a,b], если существуют числа α1, α2,…, αm, , не все из которых равны нулю, такие, что

всюду на [a,b], и линейно независимой, если такого ненулевого набора не существует.

Рассмотрим совокупность вектор-функций y1,y2,…,ym. Определитель, составленный из их координат,

называется определителем Вронского, или вронскианом системы вектор-функций y1,y2,…,ym.
Определитель Вронского служит индикатором линейной зависимости системы вектор-функций.

Теорема. Если система вектор-функций линейно зависима, то её определитель Вронского W(x) равен нулю.
Доказательство аналогично соответствующему доказательству для систем векторов [1,2] и систем скалярных функций, приведённому в п. 5.2.3. Предлагается сделать это самостоятельно.

Теорема. Если y1,y2,…,ym - линейно независимая совокупность решений системы однородных уравнений y'=A(x)y, то её определитель Вронского W(x) отличен от нуля для всех .
Доказательство аналогично соответствующему доказательству для систем скалярных функций, приведённому в п. 5.2.3. Предлагается доказать эту теорему самостоятельно.
Удостоверимся в существовании базиса в пространстве решений системы уравнений y'=A(x)y.

Теорема. Для любой однородной системы линейных дифференциальных уравнений y'=A(x)y порядка n существует система n линейно независимых решений этого уравнения.
Доказательство. Возьмём матрицу
(5.44)
с определителем, отличным от нуля. Тогда строки и столбцы этой матрицы линейно независимы. Найдём такие решения yj(x), j=1,2,..,n, системы уравнений y'=A(x)y, чтобы выполнялись соотношения По теореме существования и единственности такой набор решений существует. Найденная система решений линейно независима, так как её определитель Вронского в точке x0 совпадает с определителем матрицы (5.44). Теорема доказана.
Матрицу (5.44) можно взять единичную.

Теорема (о виде общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений). Если y1,y2,…,yn - линейно независимая совокупность решений однородной системы уравнений y'=A(x)y, то любое решение этой системы есть линейная комбинация решений y1,y2,…,yn, то есть

и, следовательно, y1,y2,…,yn - базис пространства решений системы уравнений y'=A(x)y.

см. также Решение системы линейных дифференциальных уравнений методом вариации произвольной постоянной

загрузка...