Метод вариации произвольной постоянной

Рассмотрим неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений (5.42) y'=A(x)y+b(x) или, что то же самое,
y'-A(x)y=b(x). (5.47)
Пусть имеется фундаментальная система решений y1,y2,…,yn системы (5.43) y'=A(x)y. Тогда общее решение системы (5.43) записывается в форме Будем искать частное решение неоднородной системы уравнений (5.47) в виде
(5.48)
где Cj(x)- функции, подлежащие определению. Дифференцируя вектор-функцию (5.48), получаем
(5.49)
Подставляя вектор-функцию (5.48) и её производную (5.49) в систему уравнений (5.42), получаем

(5.50)
В этом соотношении слагаемое равно нулю в силу того, что y1,y2,…,yn - решения однородной системы уравнений (5.43) y'=A(x)y.
Поэтому правая часть в (5.50) переписывается в виде
(5.51)
или в координатной форме
(5.51а)
Так как определитель системы (5.51) есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений y1,y2,…,yn однородной системы уравнений (5.43) y'=A(x)y, то он отличен от нуля и поэтому система (5.51) имеет единственное решение Cj'(x), j=1,2,…,n, которое можно найти по формулам Крамера.

Интегрируя последние равенства, окончательно получаем

Подставляя полученные значения Cj(x) в (5.48), получаем общее решение системы уравнений (5.42).

Пример. Для системы дифференциальных уравнений соответствующая однородная система уравнений имеет вид . Собственные числа её матрицы равны λ1=1, λ2=2. Собственные векторы, отвечающие этим собственным числам, равны соответственно (1,1)T и (2,3)T. Тогда фундаментальная система решений состоит из функций (et,et)T и (2e2t,3e2t)T. Решение исходной неоднородной системы будем искать в виде
.
Подставляя в исходное уравнение, получаем систему
,
или в координатной форме

Решая эту систему, находим C1'=-2e2t - 4e-t, C2'=et + 2e-2t. Проинтегрировав, имеем
C1(t) = -2e2t + 4e-t + C1, C2(t) = et - e-2t + C2.
Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид
.

загрузка...