Однородные дифференциальные уравнения

Если уравнение удается преобразовать к виду

, то это уравнение называется однородным. Нетрудно показать, что уравнение в дифференциальной форме M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 является однородным тогда и только тогда, когда функции M(x,y) и N(x,y) однородные функции одной и той же степени.

Напомним, что функция F(x₁,x₂,..,x_n) называется однородной степени k, если для неё выполнено соотношение F(tx₁,tx₂,..,tx_n)=t^k F(x₁,x₂,..,x_n).

Однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой y = xu, или, что тоже самое, , где u новая искомая функция. Действительно, тогда y' = u + u'x и исходное уравнение может быть переписано в виде u + u'x = f(u), или u'x = f(u)u. Из последнего при f(u)u можем записать .

Пример. Решить уравнение (y² - 2xy)dx + x²dy = 0. Это однородное уравнение, так как y² - 2xy и x² однородные функции второй степени. Делаем замену y = xu, dy = udx + xdu. Подставляя в уравнение, имеем

(x²u² - 2x²u)dx + x²(udx + xdu) = 0.

Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на x², получаем уравнение с разделяющимися переменными

(u² - u)dx + xdu = 0

Разделяя переменные, получаем или, что то же самое, Интегрируя последнее соотношение, имеем lnu - ln(u-1) = lnx + lnC. Потенцируя (переходя от логарифмической функции к e^x), можем записать или, делая обратную замену , получаем общий интеграл уравнения

Уравнения вида приводятся к однородным переносом начала координат в точку пересечения прямых a₁x + b₁y +c₁ = 0, a₂x + b₂y +c₂ = 0, если определитель отличен от нуля, и заменой a₁x + b₁y = z, если этот определитель равен нулю.