Новые калькуляторы

Экстремумы функции

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word. Если же задана функция f(x,y), следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных. Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y =
на отрезке [;] Включать теорию
Правила ввода функций:
  1. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, x2+x, записываем как x^2+x.
  2. Корень квадратный: sqrt. Например, sqrt(x^2+1/2), arcsin(x) = asin(x), ex = exp(x), число π = pi.

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f'0(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x* выполняется условие:

f'0(x*) = 0
f''0(x*) < 0
то точка x* - локальный (глобальный) максимум.

Пример №1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример на отрезке [1; 3].
Решение.
Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример.
Критическая точка одна x1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0не является критической, так как Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример
Ответ: fmin = 5/2 при x=2; fmax = 9 при x=1

Пример №2. С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y = x-2sin(x).
Решение.
Находим производную функции: y’ = 1- 2cos(x). Найдем критические точки: Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример. Находим y’’ = 2sin(x), вычисляем Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример, значит Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример, Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример– точки минимума функции; Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример, значит Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример– точки максимума функции.