Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .
Решение.
Данное дифференциальное уравнение – уравнение 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y.
Применяя метод Бернулли для решения этого уравнения, сделаем замену , где u(x) и v(x) – неизвестные функции, которые мы будем искать поочередно.
Согласно правилу дифференцирования произведения, имеем:
.
Подставляя выражения для и в исходное уравнение, получим:
(*)
Отсюда
;
.
Выражение в скобках зависит только от v(x). Будем искать v(x), исходя из условия:
.
Рассматривая это равенство как дифференциальное уравнение, найдём частное решение для v(x) методом разделения переменных:
;;
Переходим к интегралу:
; ; .
Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*):
; .
Найдём теперь общее решение для неизвестной функции u(x):
.
Окончательно, имеем общее решение исходного дифференциального уравнения:
.
Теперь, используем данное начальное условие и найдём частное решение уравнения:

Отсюда ,
Ответ: частное решение дифференциального уравнения имеет вид:
.
Задание:

8.1. ; .
8.2. ; .
8.3. ; .
8.4. ; .
8.5. ; .
8.6. ; .
8.7. ; .
8.8. ; .
8.9. ; .
8.10. ; .

Методические указания: при решении использовать решение дифференциальных уравнений онлайн.

загрузка...