Пример решения дифференциального уравнения

y’’ + y = cos(x)
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r2 + 1 = 0
D = 02 - 4 • 1 • 1 = -4

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = i,  r2 = -i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e0xcos(x) = cos(x)
y2 = e0xsin(x) = sin(x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид: Общее решение однородного уравнения

Рассмотрим правую часть: f(x) = cos(x)

Найдем частное решение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).

Уравнение имеет частное решение вида:
y* = x (Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y' = sin(x)(B-A•x)+cos(x)(A+B•x)
y'' = cos(x)(2•B-A•x)-sin(x)(2•A+B•x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + y =  (cos(x)(2•B-A•x)-sin(x)(2•A+B•x)) + (x (Acos(x) + Bsin(x))) = cos(x)
или
2•B•cos(x)-2•A•sin(x) = cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2B  = 1
-2A  = 0
Следовательно:
A = 0; B = 1/2;
Частное решение имеет вид: y* = x (0cos(x) + ½ sin(x)) = ½ x sin(x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: общее решение дифференциального уравнения

Скачать пример решения

см. также решение диф уравнения в онлайн.

загрузка...