Исследование степенного ряда на сходимость



n =

Дан степенной ряд . Написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.
Решение. - общий член ряда. Подставив в эту формулу n значения 1, 2, 3, …, можно найти любой член ряда:
,
,
.
Степенной ряд в общем виде записывается следующим образом: , где an – формула числовых коэффициентов. Для данного ряда .
Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где - радиус сходимости. Вычислим его:

Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу .
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть получаем ряд
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница:
сходится.

ряд сходится, значит, - точка сходимости.
При исходный ряд принимает вид: - числовой знакоположительный ряд. Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, - точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при .

загрузка...