Контрольная работа по теории вероятности

Задание 371 – 380. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Решение. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):
0, x ≤ -1

1, x ≥ 1
Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):
f(x) = dF(x)/dx = 1/2
Математическое ожидание.


Дисперсия.


= 1/6•13 - (1/6•(-1)3) - (0)2 = 1/3
Среднеквадратическое отклонение.

Скачать

Задание 391 – 400. Расчетное задание включает предварительную обработку статистики, построение линейной регрессионной модели:

  1. Найти объем выборок, относительные частоты и накопленные относительные частоты. Если случайная величина (СВ) задана интервалами, то определить середины интервалов.
  2. Построить полигон частот, гистограмму для СВ.
  3. Найти эмпирическую функцию распределения, построить график.
  4. Определить числовые оценки параметров распределения.

Решение. Упорядоченная пара (X,Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y.
Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.
Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
P(X=xi, Y=yj) = pij, i=1,2...,n, j=1,2..,m

X / Y 78 85 92 99 106 113 120 127 134
1.19 0 00 0 1 0 4 2 3
1.26 0 0 0 0 0 2 3 4 0
1.33 0 0 2 2 1 3 1 2 1
1.4 0 0 0 2 5 2 4 1 1
1.47 0 0 0 4 10 3 0 1 0
1.54 0 0 2 4 3 3 2 0 0
1.61 0 3 2 2 3 0 1 0 0
1.68 3 2 1 0 1 1 0 0 0
1.75 0 1 2 0 0 0 0 0 0


Приведем к относительным частотам.

X / Y 78 85 92 99 106 113 120 127 134
1.19 0 0 0 0 0.01 0 0.04 0.02 0.03
1.26 0 0 0 0 0 0.02 0.03 0.04 0
1.33 0 0 0.02 0.02 0.01 0.03 0.01 0.02 0.01
1.4 0 0 0 0.02 0.05 0.02 0.04 0.01 0.01
1.47 0 0 0 0.04 0.1 0.03 0 0.01 0
1.54 0 0 0.02 0.04 0.03 0.03 0.02 0 0
1.61 0 0.03 0.02 0.02 0.03 0 0.01 0 0
1.68 0.03 0.02 0.01 0 0.01 0.01 0 0 0
1.75 0 0.01 0.02 0 0 0 0 0 0


События (X=xi, Y=yj) образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей pij(i=1,2...,n, j=1,2..,m), указанных в таблице, равна 1.
1. Зависимость случайных величин X и Y.
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

X 1.19 1.26 1.33 1.4 1.47 1.54 1.61 1.68 1.75
P 0.1 0.09 0.12 0.15 0.18 0.14 0.11 0.08 0.03 ∑Pi = 1


Математическое ожидание M[X].
M[x] = 1.185*0.1 + 1.255*0.09 + 1.325*0.12 + 1.395*0.15 + 1.465*0.18 + 1.535*0.14 + 1.605*0.11 + 1.675*0.08 + 1.745*0.03 = 1.44
Дисперсия D[X].
D[X] = 1.1852*0.1 + 1.2552*0.09 + 1.3252*0.12 + 1.3952*0.15 + 1.4652*0.18 + 1.5352*0.14 + 1.6052*0.11 + 1.6752*0.08 + 1.7452*0.03 - 1.442 = 0.0231
Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

Y 78 85 92 99 106 113 120 127 134
P 0.03 0.06 0.09 0.14 0.24 0.14 0.15 0.1 0.05 ∑Pi = 1


Математическое ожидание M[Y].
M[y] = 78*0.03 + 85*0.06 + 92*0.09 + 99*0.14 + 106*0.24 + 113*0.14 + 120*0.15 + 127*0.1 + 134*0.05 = 108.24
Дисперсия D[Y].
D[Y] = 782*0.03 + 852*0.06 + 922*0.09 + 992*0.14 + 1062*0.24 + 1132*0.14 + 1202*0.15 + 1272*0.1 + 1342*0.05 - 108.242 = 189.02
Среднее квадратическое отклонение σ(y).

Поскольку, P(X=1.185,Y=78) = 0≠0.1•0.03, то случайные величины X и Y зависимы.
Полигон частот для СВ X
Полигон частот для СВ X
Полигон частот для СВ Y
Полигон частот для СВ Y

Рассчитываем характеристики для СВ X.

x 1.185 1.255 1.325 1.395 1.465 1.535 1.605 1.675 1.745
p 0.1 0.09 0.12 0.15 0.18 0.14 0.11 0.08 0.03

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 1.185*0.1 + 1.255*0.09 + 1.325*0.12 + 1.395*0.15 + 1.465*0.18 + 1.535*0.14 + 1.605*0.11 + 1.675*0.08 + 1.745*0.03 = 1.441
Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi - M[x]2.
Дисперсия D[X].
D[X] = 1.1852*0.1 + 1.2552*0.09 + 1.3252*0.12 + 1.3952*0.15 + 1.4652*0.18 + 1.5352*0.14 + 1.6052*0.11 + 1.6752*0.08 + 1.7452*0.03 - 1.4412 = 0.0231
Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Функция распределения F(X).
F(x≤1.185) = 0
F(1.185< x ≤1.255) = 0.1
F(1.255< x ≤1.325) = 0.09 + 0.1 = 0.19
F(1.325< x ≤1.395) = 0.12 + 0.19 = 0.31
F(1.395< x ≤1.465) = 0.15 + 0.31 = 0.46
F(1.465< x ≤1.535) = 0.18 + 0.46 = 0.64
F(1.535< x ≤1.605) = 0.14 + 0.64 = 0.78
F(1.605< x ≤1.675) = 0.11 + 0.78 = 0.89
F(1.675< x ≤1.745) = 0.08 + 0.89 = 0.97
F(x>1.745) = 1

Рассчитываем характеристики для СВ Y.

y 78 85 92 99 106 113 120 127 134
p 0.03 0.06 0.09 0.14 0.24 0.14 0.15 0.1 0.05

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑yipi.
Математическое ожидание M[y].
M[y] = 78*0.03 + 85*0.06 + 92*0.09 + 99*0.14 + 106*0.24 + 113*0.14 + 120*0.15 + 127*0.1 + 134*0.05 = 108.24
Дисперсию находим по формуле d = ∑y2ipi - M[y]2.
Дисперсия D[y].
D[y] = 782*0.03 + 852*0.06 + 922*0.09 + 992*0.14 + 1062*0.24 + 1132*0.14 + 1202*0.15 + 1272*0.1 + 1342*0.05 - 108.242 = 189.022
Среднее квадратическое отклонение σ(y).

Функция распределения F(Y).
F(y≤78) = 0
F(78< y ≤85) = 0.03
F(85< y ≤92) = 0.06 + 0.03 = 0.09
F(92< y ≤99) = 0.09 + 0.09 = 0.18
F(99< y ≤106) = 0.14 + 0.18 = 0.32
F(106< y ≤113) = 0.24 + 0.32 = 0.56
F(113< y ≤120) = 0.14 + 0.56 = 0.7
F(120< y ≤127) = 0.15 + 0.7 = 0.85
F(127< y ≤134) = 0.1 + 0.85 = 0.95
F(y>134) = 1
загрузка...