Задачи по теории вероятностей

Пример 1.
Наугад взяты два положительных числа, каждое из которых не превышает двух.
Решение:
a) Произведение не больше 1
A₁ – взяли «1», A₂ – затем снова взяли «1».
{1, 2}
;
P(A)=P(A₁);
b) Отношение первого ко второму не больше двух

Пример 2.
Цифры 0 до 6. Сколько шестизначных черных чисел можно составить
Решение:
Формат: XXX XXX
Четные: 0, 2, 4, 6

Пример 3 (тема "Полная вероятность").
По самолету производят 4 независимых выстрела. Вероятность попадания 0,1. Чтобы вывести самолет из строя достаточно 3 попаданий.
P₁=0,6 – выход самолета при одном попадании
P₂=0,8 – выход самолета при двух попаданиях
P₃=1 – выход самолета при трех попаданиях
Найти вероятность поражения самолета
Решение:
P(A₁) – попали по самолету один раз (из 4-х)
P(A₂) - попали по самолету два раза (из 4-х)
P(A₃) - попали по самолету три раза (из 4-х)
P(A₄) попали по самолету четыре раза (из 4-х)
P(A₁)=C¹₄·p¹·q^4-1; P(A₂)=C²₄·p²·q^4-2; P(A₃)=C³₄·p³·q^4-3; P(A₄)=C⁴₄·p⁴·q^4-4
Вероятность поражения
P=P(A₁)·P₁+P(A₂)·P₂+P(A₃)·P₃+P(A₄)·P₄ =

Пример 4.
I: 30%, высший сорт: 60%
II: 32%, высший сорт: 25%
III:38%, высший сорт: 50%
Найти вероятность того, что из 300 изделий, взятых наугад, число изделий высшего сорта заключено между 130 и 170.
Решение:
A – высший сорт, B_i – с i-ого завода, C_i – высший сорт
P(A)=ΣP(B_i) P(C_i)
P(A)=P(B₁) P(C₁)+ P(B₂) P(C₂)+P(B₃) P(C₃)=0,3·0,6+0,32·0,25+0,38·0,5=0,45, p=0,45, q=0,55
Наивероятнейшее число:
n·p-q<k< n·p+p, 300·0,45-0,55<k<300·0,45+0,55
135,5<k<135,45, k=135
170-135=35, 170-130=40

I автомат – 20%, 0,2% - брака
II автомат – 30%, 0,3% - брака
III автомат – 50%, 0,1% - брака
Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь – бракованная.
- вероятность того, что деталь с I автомата
- с II станка,
- с III станка
- вероятность брака с I автомата
- вероятность брака с II автомата
- вероятность брака с III автомата
P=P_I·P^I_б+P_II·P^II_б+P_III·P^III_б = 0,2·0,002+0,3·0,003+0,5·0,001=0,0018

Пример 10.
Задание: Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что охотник попал в цель хотя бы 1 раз.
Решение:
Произведено 3 выстрела
P₁=0,8; P₂=0,7; P₃=0,6
P(A) – вероятность того, что охотник попал в цель хотя бы 1 раз
P(Ā) – охотник не попал ни разу
P(Ā)=P(B₁)·P(B₂)·P(B₃)=0,2·0,3·0,4=0,024
P(A)=1- P(Ā)=1-0,024=0,976

Пример 11.
Задание: Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из 2-х орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если для второго орудия эта вероятность 0,8.
Решение:
P(A)=0,38 – вероятность попадания в цель при одном залпе из 2-х орудий
P(B₂)=0,8 – вероятность поражения цели вторым орудием
P(A₁) – поразили цель из 1-ого орудия
P(A)=P(A₁)·P(B₂)·P(B₁) P(A₂)
B₂ – не попали из 2-го оружия
A₁ – из второго орудия поразили цель
P(A₂)=1- P(B₂)
0,38=P(A₁)·0,2+[1-P(A₁)]·0,8
0,38=0,2·P(A₁)+ 0,8-0,8P(A₁)
-0,42=-0,6P(A₁); P(A₁)=0,7
Вероятность того, что первым попал снаряд из 1-го орудия P=0,7

Пример 12.
В магазин вошли n покупателей. Найти вероятность того, что m из них совершит покупку (P=0,1 – вероятность того, что кто-то купит)
n=11, m=7, p=0,1, q=0,9
P_n(m)=C^m_n·p^m·q^n-m

Пример 13.
Брак 5%. Составить закон распределения числа брак. изделий из трех взятых наугад.
, , n=3
P_n(m)=C^m_n·p^m·q^n-m

- нет бракованных
- одно брак.
- два бракованных
- три бракованных

Пример 14.
Партия 100 деталей, из которых 10 бракованные. Выбраны случайным образом 5 для проверки качества. Выстроить закон распределения числа бракованных изделий, содержащихся в выборке.
Решение:
N=100, n=10 – брак, - вероятность брака
- деталь не бракованная
Всего возможны 6 вариантов:
1) нет бракованных
2) 1 бракованная
3) 2 бракованных
4) 3 бракованных
5) 4 бракованных
6) Все 5 бракованные

- нет бракованных
- 1 бракованная
- 2 бракованных
- 3 бракованных
- 4 бракованных
- 5 бракованных

Пример 15.
Из 100 билетов 2 выигрышные: 210 и 60 руб.
Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего 2 билета
Решение:
P₀ – вероятность того, что ничего не выиграли

P₁ – вероятность выигрыша одного билета.

Пример 16.
F(x)=4·e^-4x
Мода: max(f(x))
Max(4·e^-4x): нет max, нет моды
Медиана: P(x<m_e)= P(x>m_e), P(0<x< m_e)=½
;

Пример 17.
Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности 0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01
Решение:
ε=0,01; p=0,6; q=0,4




По таблице φ(0,84)=0,3;
, n=17,64≈18

Пример 18.
P=0,1 – вероятность наугад взятой детали
Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных было 50.
Решение:
Q=0,1 – брак, p=0,9 – годная
n·p-q≤k₀≤n·p+p
n·0,9-0,1≤50≤n·0,9+0,9
n<55,67
n>54,56
n=55

Пример 19.
Диаметр детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону.
D(x)=0,0004 см.², M(x)=3,7 см., P=0,9973
В каких границах можно гарантировать диаметр детали.
Решение:
P(|x-m_x|<σt)=2φ(t)

По таблице x=3

Интервал: (m_x-x·σ;m_x+x·σ)
(3,7-3·0,02; 3,7+3·0,02)=(3,64; 3,88)
Ответ: (3,64; 3,88)

Пример 21.
20% деталей удовлетворяют определенным требованиям. Наугад берется 5 деталей. Число рассматриваемых – случайная величина.
Решение:
1) Распределение вероятностей
- удовлетворяют требованиям
- не удовлетворяют требованиям
P_n(K)=C_n^k·p^k·q^n-k

(нет рассматриваемых деталей)
(рассмотрена 1 деталь)
(рассмотрено 2 детали)
(рассмотрено 3 детали)
(рассмотрено 4 детали)
(рассмотрено 5 деталей)