Доказать, что векторы a,b,c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Пусть в R3 относительно канонического базисы даны четыре вектора f1 = (1,2,3),  f2 = (2,3,7), f3 = (1,3,1), x = (2,3,4). Докажите, что векторы f1, f2, f3 можно принять за новый базис . Найдите координаты η1, η2, η3 вектора х относительно этого базиса.

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
 <>0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1, f2, f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R3. 
Находим обратную матрицу А-1.
Транспонированная матрица

Алгебраические дополнения

		

		

		
Обратная матрица А-1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.

Задача решена с помощью сервиса Метод матриц онлайн