Алгебраические дополнения

Определение. Если в определителе n-го порядка вычеркнуть i строку и j столбец, то оставшийся определитель (n-1)-го порядка называется минором данного элемента aij и обозначается Mij. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Главным минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении ее k строк и k столбцов с одинаковыми номерами.
Угловым минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении ее первых k строк и первых k столбцов.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента aij определителя D называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j.
Алгебраическое дополнение элемента aij обозначается через Aij. Следовательно, Aij = (-1)i+jMij.

Пример нахождения алгебраических дополнений

Размерность матрицы

Пример. Дан определитель . Найти минор и алгебраическое дополнение элемента a21 (выделен пунктиром).
Решение. Вычеркивая в определителе первую строку и второй столбец, на пересечении которых находится элемент a21, получим . Тогда A21 = (-1)1+2M21 = -14.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.
,                                    (*)
где i0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i0.
Вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению одного определителя (n-1)-го порядка, для чего в какой–либо строке (или столбце) получают (n-1) нулей, а затем разлагают определитель по этой строке, пользуясь формулой (*).

загрузка...