Разложение вектора. Пример решения

Пример №1. В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами и ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов ==,= и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора по базису

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Скачать решение

Скачать

Задание 1. Разложить вектор по векторам и .
Решение. Векторы и образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.

Следовательно, =+.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №2. Разложите вектор v = (36; -6) по базису e1=(-5;3),e2=(-2;-4).
Решение. Даны векторы ε1(-5;3), ε2(-2;-4), X(36;-6). Показать, что векторы образуют базис двухмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

E =
-53
-2-4

∆ = (-5)*(-4) - (-2)*3 = 26
Определитель матрицы равен ∆ =26
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, что имеет место равенство:
X = α1ε1 + α2ε2
Запишем данное равенство в координатной форме:
(36;-6) = α(-5;3) + α(-2;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(36;-6) = (-5α1;3α1;) + (-2α2;-4α2;)
(36;-6) = (-5α1 -2α2;3α1 -4α2)
По свойству равенства векторов имеем:
-5α1 -2α2 = 36
1 -4α2 = -6
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:
X =
-6
-3

X = -6ε1 -3ε2

Разложить вектор d по векторам a,b,c

загрузка...